확통 정맅노트
이항분포
\[b(x;n,p) = \binom{n}{x}p^xq^{n-x}\]초기하분포
\[h(x;N,n,k) = \frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}}\]기하분포
\[g(x;p) = pq^{x-1}\]포아송 분포
\[p(x;\lambda t) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^x}{x!}\]이항분포 포아송 근사
let $n \to \infty$ in $b(x;n,p) \to p(x;np)$
정규분포 표준화
\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]지수분포
\[f(x;\beta) = \frac{1}{\beta}e^{-x/\beta}, (x > 0) \\ \mu = \beta\]감마분포
\[f(x,\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)}, x > 0 \\ \Gamma(n) = (n-1)!\]불완전 감마함수
\[F(x;\alpha) = \int_0^x \frac{y^{\alpha-1}e^{-1}}{\Gamma(\alpha)} dy, y=x/\beta \\ \int_0^{x/\beta} \frac{y^{\alpha-1}e^{-1}}{\Gamma(\alpha)} dy\]표본분산
\[S^2 = \frac{1}{n(n-1)}[n\sum_{i=1}^n X_i^2 - (\sum_{i=1}^nX_i)^2]\]두 표뵨 차이의 표준정규화
\[Z = \frac{(\overline{X}_1-\overline{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{(\sigma_1^2/n_1)+(\sigma_2^2/n_2)}}\]단일 모평균
모분산을 아는경우
\[\overline{x} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{x} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]모분산을 모르는경우
$s$: 표준편차
$t_{\alpha/2}$ 자유도는 $n-1$
\[\overline{x} - t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{x} + t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\]공차구간
$k$: 공차계수 값
\[\overline{x} \pm ks\]두 모평균 사이의 추정
모분산은 모르지만 같은경우
\[(x_1 - x_2) - t_{\alpha/2}s_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2} < \mu_1 - \mu_2 < (x_1 - x_2) + t_{\alpha/2}s_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2} \\ s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\]두 모비율 차이의 추정
\[(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{p}_1\hat{q}_1/n_1 + \hat{p}_2\hat{q}_2/n_2} < p_1 - p_2 < (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) + z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{p}_1\hat{q}_1/n_1 + \hat{p}_2\hat{q}_2/n_2}\]
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